Logaritma

 

Logaritma: Pengertian, Sifat, Rumus, Tabel, Contoh Soal

 

Berikut akan dijelaskan mengenai logaritma.

Kalian tentu sudah mempelajari mengenai eksponensial atau perpangkatan. Apa saja yang telah kalian pelajari dalam materi eksponensial atau perpangkatan?

Konsep materi perpangkatan atau eksponensial akan digunakan dalam mempelajari materi logaritma berikut.

Pengertian Logaritma

Secara sederhana, logaritma dapat disebut sebagai kebalikan dari perpangkatan atau eksponensial. Misalkan terdapat suatu perpangkatan atau eksponensial berbentuk a^c = b, kebalikan dari perpangkatan tersebut dapat disajikan dalam bentuk logaritma ^alog b = c dengan syarat a ≠ 0 dan a > 1.  

Beberapa bentuk penulisan logaritma yaitu ^alog b = c atau log_a b = c. Kedua bentuk penulisan logaritma tersebut adalah sama.

Berikut akan dijelaskan mengenai contoh penerapan logaritma dalam kehidupan sehari-hari.

Logaritma dalam Kehidupan Sehari-hari

Logaritma banyak dimanfaatkan dalam kehidupan sehari-hari. Dahulu sebelum adanya kalkulator, logaritma dimanfaatkan dalam perhitungan eksponensial.

Selain itu terdapat manfaat lain dari konsep logaritma. Konsep logaritma digunakan dalam perhitungan seismograf atau alat pengukur kekuatan gempa.

Satuan skala richter menggunakan konsep logaritma dalam perhitungannya. Dalam bidang astronomi juga digunakan dalam perhitungan untuk mengukur tingkat keterangan suatu bintang.

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai rumus logaritma.

Rumus Logaritma

Pada bagian sebelumnya kalian telah mengetahui bentuk logaritma.

Bentuk logaritma dinyatakan dengan ^alog b = c.

Simbol a menyatakan bilangan pokok logaritma atau basis, b menyatakan range atau hasil dari logaritma, dan c merupakan domain logaritma.

Selanjutnya akan dibahas mengenai sifat logaritma.

Sifat Logaritma

Berikut merupakan beberapa sifat logaritma.

·         ^alog a = 1

·         ^alog 1 = 0

·         ^{a^n}log b^m = (m/n) x ^alog b

·         ^{a^m}log b^m = ^alog b

·         ^alog b = 1/^blog a

·         ^alog b = (^klog b)/(^klog a)

·         a^(^alog b) = b

·         ^alog b + ^alog c = ^alog (bc)

·         ^alog b – ^alog c = ^alog (b/c)

·         ^alog b . ^blog c = ^alog c

·         ^alog (b/c) = – ^alog (c/b)

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai persamaan logaritma.

Persamaan Logaritma

Bagian ini akan dibahas mengenai persamaan logaritma.

Misalkan terdapat ^alog f(x)  dan ^alog g(x).

Kedua bentuk tersebut dikatakan sama atau ^alog f(x) = ^alog g(x) jika f(x) = g(x) dengan syarat a ≠ 1, a > 0, f(x) > 0, dan g(x) > 0.

Selanjutnya akan dibahas mengenai pertidaksamaan logaritma.

Pertidaksamaan Logaritma

Bagian ini akan dibahas mengenai pertidaksamaan logaritma.

Misalkan terdapat ^alog f(x)  dan ^alog g(x). Dari kedua bentuk tersebut  ^alog f(x) > ^alog g(x) jika a > 0 maka f(x) > g(x). Jika 0 < a< 1 maka f(x) < g(x).

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai tabel logaritma.

Tabel Logaritma

Tabel logaritma digunakan untuk mempermudah dalam perhitungan nilai logaritma.

Dengan menerapkan sifat-sifat logaritma yang sudah dipelajari pada bagian sebelumnya, maka akan dengan musah menyelesaikan perrhitungan logaritma.

Cara menggunakan tabel logaritma yaitu dengan menentukan angka yang sesuai pada bagian kolom paling kiri dan  pada baris teratas.

Setelah kalian menemukan angka yang sesuai pada baris dan kolomnya, carilah nilai logaritmanya sesuai dengan baris dan kolom tersebut.

Untuk mengetahui kemampuanmu terkait logaritma, kerjakan latihan soal berikut. 

Contoh Soal Logaritma

Pembahasan

Untuk mengerjakan soal di atas, kita harus memahami 3 sifat logaritma berikut ini:

Setelah memahami ketiga sifat tersebut, kita dapat menggunakan ketiga sifat tersebut untuk menyelesaikan soal logaritma di atas. Pertama, kita dapat menggunakan sifat pertama dan sifat kedua untuk menyederhanakan pembilang dan penyebut pada soal logaritma di atas.

Setelah mendapatkan bentuk seperti di atas, kita dapat menggunakan sifat ketiga untuk menyederhanakannya kembali menjadi bentuk seperti di bawah ini.

Kita dapat menggunakan menyederhanakan bentuk log 10000, menjadi log  10⁴.

Hasil dari penyelesaian dari soal logaritma di atas adalah 1/4.

2. Tentukan hasil dari ³log81 – ³log8 + ³log72

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita harus menggunakan sifat logaritma  log a x b = log a  + log b  dan ^alog a = 1. Pertama, pecah soal logaritma tersebut menjadi lebih kecil seperti penyelesaian di bawah ini.

=³log 81 – ³log 8 + ³log 72

=³log 3⁴ – ³log 8 + ³log (9×8)  

=³log 3⁴ – ³log 8 + ³log 3² + ³log 8

=³log 3⁴ + ³log 3²

=4+2 = 6

Setelah melalui penyederhanaan menggunakan sifat logaritma, hasil dari soal logaritma di atas adalah 6.

3. Diketahui jika ²log 5 = a dan ⁵log 3 = b. Maka nilai ¹⁵log 40

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persoalan di atas, terdapat beberapa sifat logaritma yang perlu diperhatikan. Terdapat 4 sifat logaritma yang harus diterapkan dalam soal ini.

·         ^alog b = log b / log a

·         ^alog an = n

·         log a x b = log a + log b

·         ^alog b x ^blog c = ^alog c

Dalam mengerjakan soal tersebut, kita dapat menggunakan sifat logaritma keempat untuk mendapatkan hasil baru. Selanjutnya, menggunakan persamaan pertama, ketiga, dan kedua. Untuk lebih jelasnya, mari simak pembahasan soal logaritma berikut ini.

Penyelesaian soal logaritma di atas adalah 

4. Jika ⁸log 5 = 2a, maka ⁵log 64 adalah

Pembahasan

Terdapat dua sifat logaritma yang bisa kamu gunakan untuk menyelesaikan soal tersebut yaitu ^alog bⁿ = n ^alog b dan ^alog b = 1/ ^blog a . Langkah pertama yang dapat dilakukan adalah menggunakan sifat kedua logaritma di atas untuk menyelesaikan permasalahan ini seperti pembahasan di bawah ini.

Kita masukkan ²log 5 = 6a dengan menggunakan sifat kedua. Sehingga didapatkan persamaan logaritma seperti di bawah ini.

Sehingga hasil akhir dari ⁵log 64 adalah 5/6a

5. Diketahui 3^2+x=90, maka nilai 3^2x adalah

Pembahasan

3^2+x=90

3².3^x=3².10, kita dapat mencoret 3² pada kedua ruas sehingga menjadi bentuk seperti ini.

3^x = 10, bentuk ini dapat diubah menjadi bentuk logaritma ³log 10 = x

Karena yang hasil yang dicari adalah 3^2x, maka kita dapat mengalikan kedua ruas dengan 2 sehingga didapatkan 2x seperti bentuk persamaan logaritma di bawah.

2 ³log 10 = 2x,

³log 10² = 2x

3^2x = 100

Maka hasil dari 3^2x adalah 100.

6. Sederhanakan  dan selesaikan bentuk logaritma di bawah ini.

1.       ²log 16 = . . .

2.      ³log 9 + ³log 27 = . . .

3.      ²log 3 . ³log 32 = . . .

4.      5^(⁵log 13) = . . .

5.      ²log 3 . ³log 4 . ⁴log 5 . ⁵log 6 . ⁶log 7 . ⁷log 8 = . . .

Pembahasan

1.       ²log 16 = ²log 2⁴ = 4 . ²log 2 = 4 x 1 = 4

2.      ³log 9 + ³log 27 = ³log 3² + ³log 3³ = 2 x (³log 3) + 3 (³log 3) = 2 x 1 + 3 x 1 = 2 + 3 = 5

3. ²log 3 . ³log 32 = ²log 32 = ²log 2⁵ = 5 . ²log 3 . ²log 2 = 5 x 1 = 5
4. 5^(⁵log 13) = 13
5. ²log 3 . ³log 4 . ⁴log 5 . ⁵log 6 . ⁶log 7 . ⁷log 8 = ²log 8 = ²log 2³ = 3 x ²log 2 = 3 x 1 = 3.

Kesimpulan

·         Logaritma merupakan kebalikan dari perpangkatan atau eksponensial.

·         Logaritma disimbolkan dengan ^alog b = c.

·         Beberapa sifat logaritma yaitu

^alog a = 1

^alog b + ^alog c = ^alog (bc)

^alog b – ^alog c = ^alog (b/c)

^alog b . ^blog c = ^alog c

·         Tabel logaritma digunakan untuk mempermudah perhitungan matematika. Dengan menerapkan sifat-sifat logaritma akan mempermudah dalam perhitungannya.

 

Demikian penjelasan mengenai logaritma. Semoga memberikan manfaat bagi kalian. Terima kasih.