Matriks

 

Matriks: Pengertian, Operasi, dan Contoh Soal

 

Topik yang akan disampaikan pada kesempatan kali ini adalah mengenai matriks. Agar kalian memahaminya, simak penjelasan berikut.

Kalian tentu sudah mempelajari materi sistem persamaan linear. Penyelesaian sistem persamaan linear dapat dilakukan dengan menggunakan metode eliminasi, substitusi, maupun campuran (eliminasi-substitusi).

Perhatikan permasalahan berikut.

Raka membeli 3 buku dan 2 pensil dengan harga Rp11.000,00. Deni membeli 1 buku dan 4 pensil dengan harga Rp12.000,00. Berapakah harga masing-masing 1 pensil dan 1 buku?

Bagaimana cara kalian menyelesaikan permasalahan tersebut?

Selain menggunakan metode yang kalian kenal pada materi sistem persamaan linear (eliminasi dan substitusi), kalian dapat menyelesaikannya dengan menggunakan matriks.

Jika kalian ingin mengetahui apa itu matriks, mari simak penjelasannya di bawah ini.

Definisi Matriks

Matriks secara sederhana dapat diartikan sebagai kumpulan bilangan yang disusun dalam baris dan kolom.

Bilangan-bilangan yang disusun pada matriks tersebut disebut dengan elemen-elemen matriks.

Ukuran matriks disebut dengan ordo matriks. Misalnya matriks berordo 3 x 2, maka matriks tersebut berikuran 3 baris 2 kolom.

Berdasarkan ordo matriks dan susunan elemen-elemennya, terdapat beberapa jenis matriks diantaranya matriks kolom, matriks baris, matriks persegi, matriks persegi panjang, matriks segitiga, matriks diagonal, dan jenis matriks lainnya.

Transpose Matriks

Transpose matriks dilakukan dengan mengubah elemen tiap baris ke dalam kolom dan juga sebaliknya. Misalkan terdapat matriks dengan ordo m × n. Transpose matriks tersebut memiliki ordo n × m.

Contoh:

Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordo kedua matriks sama. Penjumlahan atau pengurangan matriks dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan masing-masing elemen yang bersesuaian dari kedua matriks tersebut.

Perhatikan contoh penerapan matriks berikut.

Penerapan Matriks

Matriks memiliki banyak sekali kegunaan.

Salah satu kegunaan matriks adalah dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan sistem persamaan.

Dengan menggunakan matriks dalam penyelesaian permasalahan tentu akan menjadikannya lebih mudah. Jika dibandingkan dengan penggunaan metode eliminasi atau substitusi, penyelesaian sistem persamaan menggunakan matriks akan lebih efisien dalam penyelesaiannya.

Setelah mempelajari tentang penerapan matriks, selanjutnya akan dibahas mengenai perkalian matriks.

Perkalian Matriks

Terdapat dua jenis perkalian dalam matriks, yaitu perkalian skalar dengan matriks serta perkalian matriks dengan matriks. Mari simak perkalian skalar dengan matriks berikut.

Perkalian Skalar dengan Matriks

Misalkan terdapat suatu skalar k, dan matriks yang berordo m × n. Perkalian skalar dengan matriks dapat dilakukan dengan mengalikan setiap elemen pada matriks dengan skalar k.

Perhatikan contoh berikut.

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai perkalian matriks dengan matriks.

Perkalian Matriks dengan Matriks

Perkalian matriks dengan matrik dapat dilakukan dengan mengalikan setiap elemen baris pada matriks pertama dengan setiap elemen kolom pada matriks kedua.

Perkalian matriks dapat dilakukan jika ukuran kolom matriks pertama sama dengan ukuran baris matriks kedua (banyak kolom matriks pertama = banyak baris matriks kedua).

Perhatikan contoh berikut.

Selanjutnya akan disampaikan mengenai determinan matriks pada bagian berikutnya.

Determinan Matriks

Misalkan terdapat matriks A. Determinan matriks A disimbolkan dengan |A| atau det (A). Pada pembahasan ini akan dijelaskan mengenai determinan matriks 2 × 2 dan 3 × 3.

Determinan Matriks 2 × 2

Selanjutnya adalam materi mengenai determinan matriks 3 × 3.

Determinan Matriks 3 × 3

Determinan matriks 3 × 3 dapat ditentukan dengan metode kofaktor dan metode sarrus. Pada bagian ini kita akan belajar mengenai bagaimana menentukan determinan matriks 3 × 3 dengan metode sarrus.

Perhatikan contoh berikut.

Selanjutnya akan dibahas mengenai invers matriks.

Invers Matriks

Misalkan terdapat matriks A, invers dari matriks A disimbolkan dengan A^-1 yaitu sebagai berikut.

 

Kalo masih kurang jelas, bisa nonton determinan dan invers matriks lebih lanjut di video rumus pintar ya.

Selanjutnya, ujilah pengetahuan kalian terkait matriks dengan soal berikut.

Contoh Soal Matriks

1. Diketahui sebuah matriks

maka hasil perhitungan dari x+2xy+y = …..

PEMBAHASAN

Untuk mengerjakan soal ini, Anda harus memahami sifat-sifat dan operasi perhitungan matriks untuk memudahkan Anda dalam proses penyelesaian soal tersebut.

Pertama, Anda harus menulis bentuk F+A-C  seperti di bawah ini.

Dari bentuk matriks di atas, Anda dapat membentuk sebuah persamaan sesuai dengan baris dan kolom pada kedua ruas seperti 6+x = 8.

Dari persamaan ini, didapatkan nilai x=2. Kemudian Anda dapat memasukkan nilai tersebut pada persamaan 2 – y = -x atau y+6 = 5x. Sehingga di dapatkan nilai y adalah 4.

Anda dapat memasukkan nilai x dan y ke dalam persamaan x+2xy+y. Sehingga di dapatkan 2+2.2.4+4 = 22. Sehingga jawaban dari persamaan tersebut adalah 22.

2. Diketahui sebuah matriks

Jika X+Y = M. Maka tentukan nilai a+b = …

PEMBAHASAN

Sama seperti soal sebelumnya, Anda harus menambahkan kedua matriks mengikuti persamaan yang diberikan seperti berikut ini.

Dari hubungan matriks pada kedua ruas memiliki posisi yang sama, maka Anda dapat secara langsung membentuk sebuah persamaan 2 + 3a = 8, sehingga di dapatkan nilai a = 2.

Hal ini juga Anda lakukan pada persamaan -2b – 2 = 10, sehingga nilai b = -6. Maka hasil a+b adalah 2 + (-6) = -4.

 

3. Diketahui suatu persamaan matriks berikut

Tentukan nilai 3x – 2y = ….

PEMBAHASAN

Untuk mengerjakan soal ini, Anda harus mengalikan angka 3 pada matriks pertama sehingga di dapatkan hasil

Hasil matriks ini kemudian Anda tambahkan dengan matriks kedua untuk mendapatkan hasil akhir seperti di ruas kanan.

Anda dapat menambahkan baris dan kolom yang sama pada kedua matriks di ruas kiri seperti di bawah ini.

4x – 4 = 8, sehingga didapatkan nilai x = 3.

2y + 3 = 13, sehingga didapatkan nilai y = 5.

Maka nilai 3x – 2y adalah 3(3) – 2(5) = -1

 

4. Diketahui suatu persamaan matriks tidak lengkap berikut.

Carilah hasil dari 2a + b – 2c + d = …..

PEMBAHASAN

Langkah mengerjakan soal di atas, mirip dengan soal sebelumnya. Anda dapat mengalikan angka 2 dengan matriks pertama sehingga di dapatkan

Anda dapat membuat persamaan setara antara ruas kanan dan kiri seperti penyelesaian di bawah ini.

Anda perlu melakukan perkalian pada ruas kiri. Sehingga didapatkan bentuk yang sama antara matriks ruas kanan dan ruas kiri seperti di bawah ini.

Dari persamaan di atas, ruas kanan dan ruas kiri sudah setara sehingga Anda dapat mencari nilai a, b, c, dan d.

2a+4 = 8, maka nilai a = 2

-6 = 2c + 4, maka nilai c = -5

3 = 3d + 6, maka nilai d = -1

2 + b = cd + 12, maka nilai b = 15

Sehingga nilai dari 2a + b – 2c + d = 2.2 + 15 – 2(-5) + (-1) = 28

 

5. Diketahui matriks

jika C.O = A, Tentukan nilai det A

PEMBAHASAN

Untuk mengerjakan soal ini, Anda harus memahami konsep determinan matriks. Sifat determinan matriks menyatakan bahwa jika CO = A, maka det(C) x det(O) = det(A). Sehingga, untuk menentukan det(A), Anda cukup mencari nilai det(C) dan det(O).

det(C) = 2(6) – 4(5) = -8, det(O) = -1(2) – 1(0) = -2, sehingga det(A) = -8 x -2 = 16.

Jadi, nilai determinan matriks A adalah 16.

6. Misalkan terdapat matriks 

a.      Tentukan hasil operasi perkalian matriks tersebut.

b.      Tentukan A^t.

c.      Tentukan det (B).

d.      Tentukan B^-1.

 

 

PEMBAHASAN

Kesimpulan

Apa yang telah kalian pelajari pada materi matriks ini?

·        Matriks merupakan kumpulan bilangan yang disusun dalam baris dan kolom.

·        Perkalian pada matriks ada dua, yaitu perkalian skalar dengan matriks dan perkalian matriks dengan matriks.  Perkalian skalar dengan matriks yaitu dengan mengalikan setiap elemen matriks dengan skalar. Perkalian matriks dengan matriks dapat dilakukan dengan mengalikan setiap elemen baris matriks pertama dengan setiap elemen kolom pada matriks kedua.

·        Determinan matriks 2 × 2, misalkan terdapat 

Sedangkan determinan matriks 3 × 3 dapat dihitung dengan metode sarrus.

Secara umum, invers matriks dirumuskan sebagai berikut. Misalkan terdapat matriks A,

Demikian pembahasan mengenai matriks.