Induksi Matematika

 

Induksi Matematika: Pengertian, Rumus, & Contoh Soal

Pengertian Induksi Matematika

 

Induksi matematika adalah cara atau teknik pembuktian secara deduktif dalam matematika.

Pembuktian yang dimaksud adalah pembuktian pernyataan-pernyataan yang berkaitan dengan bilangan bulat positif (non negative).

Langkah-langkah Induksi Matematika

Andaikan p(n) adalah sebuah pernyataan dengan variabel bebas n dan n adalah bilangan bulat positif, maka untuk membuktikan bahwa p(n) benar kita perlu melalui 3 langkah sebagai berikut:

1.       Tunjukkan bahwa p(1) benar

2.      Misalkanlah p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif  dengan n ≥ 1

3.      Tunjukkan bahwa p(n+1) benar

Agar lebih dapat memahami materi ini, perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal Induksi Matematika

1. Tunjukkan bahwa 1 + 2 + 3 + … + n =  

PEMBAHASAN

·         Akan ditunjukkan bahwa p(1) benar

Jika n = 1, maka:

·         Misal p(n) benar untuk n ≥ 1, maka:

·         Akan dibuktikan bahwa p(n+1) benar, yaitu:

2. Tunjukkan bahwa jumlah dari n bilangan bulat ganjil positif pertama adalah n²

 

PEMBAHASAN

Bentuk persamaan : 1 + 3 + 5 + … + (2n–1) = n²

·         Akan ditunjukkan bahwa p(1) benar

Jika n = 1, maka:

1 = n² = 1² = 1

·         Misalkan p(n) benar untuk n ≥ 1, maka:

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) = n² benar

·         Akan di buktikan bahwa p(n+1) benar, yaitu:

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = (n+1)²

Bukti:

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = n² + (2(n+1)–1)

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = n² + 2n + 2 – 1

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = n² + 2n + 1

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = (n+1)(n+1)

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = (n+1)² (terbukti)

Jadi, terbukti bahwa 1 + 3 + 5 + … + (2n–1) = n² untuk n bilangan bulat positif.

Setelah memahami contoh soal beserta pembuktiannya, diharapkan materi induksi matematika dapat semakin dipahami sehingga mampu menyelesaikan soal dalam berbagai bentuk.

Agar lebih memperdalam pemahaman terkait materi induksi matematika, dapat dicari contoh soal di internet atau buku-buku soal matematika.

Selama berpegang pada langkah-langkah yang ditentukan dalam menyelesaian soal induksi matematika, maka proses pembuktian akan dapat dilalui dengan baik.