Vektor

 

Vektor Matematika: Pengertian, Rumus, Operasi, Contoh Soal

 

Halo, semuanya. Kali ini akan dibahas mengenai vektor mulai dari pengertian vektor sampai dengan proyeksi vektor. Langsung saja, simak penjelasan berikut.

Apakah kalian masih ingat dengan konsep skalar dan vektor?

Skalar merupakan suatu besaran yang hanya memiliki nilai, sedangkan vektor merupakan suatu besaran yang memiliki nilai dan arah.

Untuk memahami secara matematis mengenai vektor, pahami konsep vektor pada bagian di bawah ini.

Pengertian Vektor

Apakah kalian tahu apa itu vektor?

Vektor merupakan suatu ruas garis yang memiliki besaran (ukuran panjang/nilai) dan arah. Berikut merupakan contoh vektor. 

Vektor biasanya diberi nama menggunakan huruf kecil  (misal a) atau titik-titik yang menghubungkannya (misal PQ).

Pada gambar tersebut terdapat transformasi titik A dengan vektor u hasilnya adalah titik B, dengan pengertian yang sama vektor u merupakan garis berarah dari titik A ke titik B.

Vektor pada gambar tersebut dapat dinotasikan sebagai berikut.

Vektor AB tersebut memiiki pangkal vektor yang terletak pada titik A dan ujung vektor yang terletak pada titik B. Berkaitan dengan kesamaan dua vektor, dua vektor dapat dikatakan sebagai vektor yang sama jika nilai (panjang vektor) dan arahnya sama.

Misal terdapat suatu vektor

panjang vektor u dapat dihitung dengan

Keterangan:

Setelah menmahami mengenai vektor, berikut beberapa contoh penerapan vektor dalam kehidupan sehari-hari.

Vektor dalam Kehidupan Sehari-hari

Konsep vektor dapat kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Vektor memiliki peranan yang sangat penting dalam bidang fisika dan teknik.

Selain itu, vektor juga berperan dalam bidang komputer, khususnya pada desain grafis.

Selanjutnya kita akan mempelajari tentang perkalian vektor.

Operasi Perkalian Vektor

Terdapat beberapa jenis perkalian dalam vektor. Terdapat perkalian skalar dengan vektor dan perkalian vektor dengan vektor. Perkalian skalar dengan vektor dapat kalian lihat pada bagian berikut ini.

Perkalian Skalar dengan Vektor

Apa itu skalar?

Nah, skalar merupakan suatu nilai yang tidak memiliki arah.

Misalkan terdapat suatu skalar k dan vektor u. Perkalian skalar dan vektor tersebut dapat dituliskan dengan ku.

Bagaimana hasil perkalian skalar dengan vektor? Apakah hasil perkalian vektor berupa skalar atau vektor?

Hasil perkalian skalar dengan vektor akan menghasilkan vektor.

Lalu apa yang membedakannya dengan vektor awal u?

Yang membedakannya yaitu hasil perkaliannya menghasilkan vektor dengan ukuran vektor yang diperpanjang sebanyak k kali dari panjang semua.

Berikut  merupakan beberapa macam hasil perkalian skalar k dan vektor u.

Perkalian ku

·         Jika k > 0, maka vektor hasil searah dengan vektor u.

·         Jika k < 0, maka vektor hasil berlawanan arah dengan vektor u.

·         Jika k = 1, maka vektor hasil sama dengan vektor u.

·         Jika k = 0, maka menghasilkan vektor nol.

Setelah membahas mengenai perkalian skalar dengan vektor, selanjutkan akan dijelaskan mengenai perkalian vektor dengan vektor.

Perkalian Vektor dengan Vektor

Perkalian vektor dengan vektor terdiri dari perkalian titik (dot product) dan perkalian silang (cross product).

Perkalian Titik (Dot Product)

Perkalian titik didefinisikan sebagai skalar sebagai hasil dari perkalian dua vektor dengan cosinus sudut apit kedua vektor tersebut. Misalkan terdapat 2 vektor u dan v.

Perkalian titik juga dapat diartikan sebagai perkalian vektor u dengan komponen vektor v yang searah dengan vektor u.

Dari definisi tersebut dapat dituliskan rumus perkalian titik (dot product) yaitu sebagai berikut.

Atau dengan menggunakan konsep perkalian tiap elemennya. Misalkan terdapat dua vektor  dan  perkalian titik dapat dihitung dengan:

Selanjutnya akan dibahas mengenai perkalian silang (cross product).

 

Perkalian Silang (Cross Product)

Untuk menentukan hasil perkalian silang dua vektor dapat dengan menerapkan rumus berikut. Misalkan, terdapat dua vektor dalam ruang tiga dimensi yaitu u = (u₁, u₂, u₃) dan v = (v₁, v₂, v₃). Hasil perkalian silang (cross product) dua vektor tersebut dituliskan sebagai

Keterangan:

·         u : vektor u

·         v : vektor v

·         u₁, u₂, u₃ : elemen-elemen vektor u

·         v₁, v₂, v₃ : elemen-elemen vektor v

Selanjutnya kita akan membahas mengenai proyeksi vektor. Simak penjelasan berikut.

Proyeksi Vektor

Perhatikan gambar proyeksi vektor berikut.

Terdapat dua vektor yaitu vektor u dan vektor v. Gambar di atas merupakan gambar proveksi vektor v pada vektor u.  Proyeksi vektor v  pada vektor u  adalah

Untuk lebih memahami mengenai materi vektor, mari berlatih soal mengenai vektor di bawah ini.

Contoh Soal Vektor

Berikut ini soal dan pembahasan vektor dalam bidang matematika.

1. Diberikan 3 buah vektor: 

Pembahasan

Untuk mengerjakan soal tersebut, kita dapat mengkali nilai skalar dengan vektornya. Namun, kita harus menulis bentuk vektor sederhana dari setiap vektor.

Bentuk sederhana dan perkaliannya dapat di lihat pada penyelesaian di bawah ini.

2. Diketahui vektor-vektor berikut:

Pembahasan

Untuk mencari nilai 3a + 4b – 2c, kita perlu mencari nilai m. Pada soal, dijelaskan bahwa a ⊥ b yang berarti kedua vektor tersebut tegak lurus.

Kita dapat menuliskan bentuk vektor tidak lurus seperti di bawah ini.

3. Diketahui vektor-vektor 

Pembahasan

Untuk mengerjakan soal di atas, kamu harus menghitung nilai dari 6u + 4v kemudian di proyeksikan terhadap vektor v Misalkan 6u + 4v = y, maka persamaan y dapat kita tuliskan sebagai berikut.

y = 6u + 4v

y = 6(2,-1,3) + 4(-3,2,6)

y = (12,-6,18) + (-12, 8, 24)

y = (0, 2, 42)

Berdasarkan hasil operasi hitung, panjang proyeksi adalah 36,57

4. Terdapat dua vektor yaitu: 

Jika m diproyeksikan pada n dan memiliki panjang 2. Maka tentukan nilai n pada vektor n!

Pembahasan

Untuk mengerjakan soal ini, kita dapat menggunakan rumus panjang proyeksi vektor m pada n seperti di bawah ini.

5. Sebuah segitiga terbentuk dari 3 vektor .

Tentukan sudut yang dibentuk oleh garis XY dan XZ!!

Pembahasan

Hal yang pertama yang harus kita lakukan adalah menghitung vektor garis XY dan XZ. Untuk mencari vektor garis XY dan XZ, kita dapat menuliskannya seperti di bawah ini.

Setelah mengetahui vektor masing-masing, langkah kedua adalah mencari sudut yang terbentuk di antara dua garis vektor tersebut.

Untuk mencari besaran sudut dapat menggunakan persamaan vektor seperti di bawah.

Sudut yang terbentuk antara garis XY dan XZ adalah 90^o

6. Misalkan terdapat dua vektor u = (2, 1, 2) dan v = (4, -1, 3). Tentukan:

1.       Panjang vektor u dan vektor v.

2.      Hasil kali titik (dot product) kedua vektor tersebut (u . v).

3.      Hasil kali silang (cross product) kedua vektor tersebut (u × v).

4.      Proyeksi vektor u pada vektor v.

 

Pembahasan

1. Panjang vektor u dan vektor v.

2. Hasil kali titik kedua vektor

u . v = (2)(4) + (1)(-1) + (2)(3) = 8 -1 + 6 = 13

3. Hasil kali silang kedua vektor

·         u = (2, 1, 2) dan v = (4, -1, 3)

·         u × v = (u₂v₃ – u₃v_2, u₃v₁ – u₁v₃, u₁v₂ – u₂v₁)

·         u × v = ((1)(3) – (2)(-1), (2)(4) – (2)(3), (2)(-1) – (1)(4))

·         u × v = (5, 2, -6)

4. Proyeksi vektor u pada vektor v.

Kesimpulan

·         Vektor merupakan suatu ruas garis yang memiliki besaran (ukuran panjang/nilai) dan arah.

Demikian penjelasan mengenai vektor, semoga bermanfaat