Polinomial

Polinomial: Pengertian, Rumus, Contoh Soal

 

Pernahkah kalian mendengar kata polinomial? Polinomial biasa juga disebut dengan suku banyak.

Lalu apa itu suku banyak? Lebih jelasnya mari kita simak materi dibawah ini

Pengertian Polinomial

Dalam dunia matematika, polinomial atau suku banyak adalah pernyataan matematis yang berhubungan dengan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien.

Bentuk umum dari suatu polinomial adalah sebagai berikut

a_nxⁿ+…+a₂x²+a₁x¹+a₀

dimana a merupakan koefisien konstan, dan pangkat tertinggi pada polinomial tersebut menandakan orde atau derajatnya, sehingga polinomial diatas memiliki derajat atau orde n.

Pembagian Polinomial

Pada umumnya, bentuk umum dari pembagian polinomial adalah

F(x) = P(x) × H(x) + S(x)

Dimana

·         F(x) : suku banyak

·         H(x) : hasil bagi

·         P(x) : pembagi

·         S(x) : sisa

Sebelum kita memahami metode pembagian polinomial, terlebih dahulu kita harus mengetahui tentang teorema sisa yaitu

Misalkan F(x) merupakan polinomial berderajat n,

Jika F(x) dibagi (x-k) maka hasilnya adalah F(k)

Jika F(x) dibagi (ax-b) maka hasilnya adalah F(b/a)

Jika F(x) dibagi (x-a)(x-b) maka hasilnya adalah

Kemudian untuk metode pembagian polinomial terdapat beberapa cara, diantaranya

1. Metode Pembagian Biasa

Contohnya adalah jika 2x³ – 3x² + x + 5 dibagi dengan 2x² – x – 1

maka hasil bagi dan sisanya adalah hasil bagi = x-1 dan sisa = x+4

2. Metode Horner

Metode ini dipakai untuk pembagi yang berderajat 1 ataupun pembagi berderajat n yang bisa difaktorkan jadi pembagi-pembagi dengan derajat 1.

Langkah langkah :

1) Tulis koefisien dari polinomialnya → harus urut dari koefisien xⁿ, x^{n – 1}, … hingga konstanta (untuk variabel yang tidak memiliki koefisien, maka ditulis 0). Misalkan untuk 5x³ – 8, koefisien-koefisiennya adalah 5, 0, 0, dan -8

2) Untuk koefisien dengan derajat tertinggi P(x) ≠ 1, hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)

3) Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi

·         P₁ dan P₂, maka S(x) = P₁ × S₂ + S₁

·         P₁, P₂, P₃, maka S(x) = P₁×P₂×S₃ + P₁×S₂ + S₁

·         P₁, P₂, P₃, P₄, maka S(x) = P₁×P₂×P₃×S₄ + P₁×P₂×S₃ + P₁×S₂ + S₁

·         dan seterusnya

Untuk lebih jelasnya, mari simak contoh berikut ini

Misalkan diketahui

F(x) = 2x³ – 3x² + x + 5

P(x) =  2x² – x – 1

Tentukan hasil bagi dan sisanya

Jawab :

F(x) = 2x³ – 3x² + x + 5

P(x) =  2x² – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)

Sehingga p1 : (2x + 1) = 0 -> x = -1/2 dan p2 : (x – 1) = 0 -> x = 1

Kemudian langkah hornernya ditunjukkan pada gambar berikut

Jadi, diperoleh hasil dan sisanya sebagai berikut

H(x) = x-1

S(x) = P₁×S₂ + S₁ = x + 4

3. Metode Koefisien Tak Tentu

Pada dasarnya, metode ini dikerjakan dengan cara mensubstitusikan F(x) berderajat m dan P(x) berderajat n ke dalam bentuk umum pembagian polinomial, kemudian H(x) dan S(x) nya diisi dengan

H(x) merupakan polinomial berderajat k, dimana k = m – n

S(x) merupakan polinomial berderajat n-k

Lebih jelasnya akan dibahas pada contoh soal.

Contoh Soal Polinomial

Misalkan diketahui

F(x) = 2x³ – 3x² + x + 5

P(x) =  2x² – x – 1

Tentukan hasil bagi dan sisanya menggunakan metode tak tentu

Pembahasan

m = 3, n = 2, k = 1

H(x) berderajat 1 misalkan H(x) = ax+b

S(x) berderajat 2-1=1 misalkan S(x) = px+q

Substitusikan F(x), P(x), H(x), S(x) ke persamaan

F(x) = P(x) . H(x) + S(x), maka diperoleh

2x³ – 3x² + x + 5 = (2x² – x – 1)(ax+b) + px+q

2x³ – 3x² + x + 5 = 2ax³ + 2bx² – ax² – bx – ax – b + px + q

(2)x³ + (– 3)x² + (1)x + (5) = (2a)x³ + (2b – a)x² + (– b – a + p) x + (– b + q)

Kemudian samakan koefisien dari ruas kiri dan kanan menjadi

2a = 2

a = 1

2b – a = -3

2b – 1 = -3

2b = -2

b = -1

– b – a + p = 1

1 – 1 + p = 1

p = 1

– b + q = 5

1 + q = 5

q = 4

Jadi,

H(x) = ax + b = x – 1

S(x) = px + q = x + 4

Nah, sekian penjelasan mengenai polinomial, semoga semakin membuat paham ya, terima kasih.