Belajar Matematika: Transformasi Geometri

Transformasi Geometri: Macam, Rumus, & Contoh Soal

Kali ini kita akan belajar mengenai transformasi geometri. Simak materi berikut.

Sebelum kalian mempelajari materi transformasi geometri, kalian harus menguasai materi fungsi, trigonometri, dan matriks.

Apakah kalian sudah menguasainya?

Materi-materi mengenai fungsi, trigonometri, dan matriks tersebut akan mempermudah kalian dalam menyelesaikan permasalahan Jika kalian sudah menguasainya, pada bagian berikut ini akan dijelaskan mengenai definisi transformasi.

Definisi Transformasi Geometri

Transformasi geometri merupakan perubahan posisi dari posisi awal ke posisi yang lainnya.

Nah, dalam perubahan posisi tersebut terdapat aturan tertentu yang menyebabkan posisi suatu objek berubah.

Ada berapa macam transformasi geometri?

Dalam materi ini akan dibahas empat macam transformasi geometri. Macam-macam transformasi geometri yang akan dibahas yaitu translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian).

Namun, sebelum membahas keempat macam transformasi tersebut, perhatikan contoh transformasi geometri pada bagian berikut.

Transformasi Geometri dalam Kehidupan Sehari-hari

Dapatkah kalian menyebutkan contoh penerapan transformasi geometri?

Contoh penerapan transformasi geometri dapat dengan mudah kita temukan dalam kehidupan sehari-hari karena dalam kegiatan sehari-hari tentu kita melakukan aktivitas yang melibatkan perubahan posisi seperti berjalan, berlari, melompat, dan pergerakan lainnya yang melibatkan perubahan posisi.

Dalam transformasi geometri juga dikenal dengan pencerminan. Contoh penerapan pencerminan misalnya pada saat kita bercermin, jarak benda dengan cermin sama dengan jarak cermin dengan bayangan.

Selain itu terdapat transformasi berupa perputaran, contohnya seperti gerakan berputar. Selanjutnya akan dibahas mengenai rumus transformasi geometri.

Rumus Transformasi Geometri

Beberapa konsep dan rumus yang akan dijelaskan pada bagian di bawah ini antara llain mengenai translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian).

Translasi (Pergeseran)

Translasi merupakan perubahan posisi tanpa mengubah bentuk dan ukuran. Jadi yang berpindah hanya posisi awalnya saja, sedangkan ukuran dan bentuknya tetap.

Misalkan terdapat suatu objek dengan posisi awal (x, y) dan dilakukan translasi (a, b). Maka posisi akhir objek setelah translasi yaitu

Refleksi (Pencerminan)

Konsep pencerminan ini sama dengan ketika kita bercermin. Jaran antara benda dengan cermin akan sama dengan jarak bayangan dengan cermin. Dalam koordinat kartesius terdapat beberapa jenis pencerminan yaitu sebagai berikut.

Pencerminan terhadap titik O(0,0)

Pencerminan suatu titik yang dicermikan terhadap titik O(0, 0) memiliki matriks transformasi

. Sehingga rumus bayangan hasil refleksi suatu titik (x, y) terhadap titik O(0, 0) yaitu

Pencerminan terhadap sumbu-x

Pencerminan suatu titik yang dicerminakn terhadap sumbu-x memiliki matriks transformasi

. Sehingga bayangan terhadap suatu titik (x, y) dengan pencerminan terhadap sumbu-x yaitu

Pencerminan terhadap sumbu-y

Pencerminan terhadap sumbu-y memiliki matriks transformasi

. Sehingga hasil refleksi (pencerminan) suatu titik (x, y) dengan sumbu refleksi adalah sumbu-y adalah

Pencerminan terhadap garis y = x

Matriks transformasi untuk refleksi suatu titik terhadap garis y = x yaitu

. Sehingga bayangan hasil refleksi (pencerminan) dari titik (x, y) terhadap garis y = x adalah

Pencerminan terhadap garis y = -x

Adapun matriks transformasi dari refleksi terhadap garis y = -x adalah

Sehingga untuk menentukan bayangan (hasil refleksi) terhadap garis y = -x dapat diperoleh dengan

Rotasi (Perputaran)

Pada transformasi geometri berupa perputaran, unsur yang harus ada dalam rotasi adalah pusat rotasi dan besar sudut rotasi.

Secara umum, untuk suatu titik (x, y) jika dirotasi dengan pusat rotasi (p, q) dan sudut rotasi α, maka hasil rotasi (bayangan) dapat ditentukan dengan rumus berikut

Dilatasi (Perkalian)

Pada dilatasi, objek mengalami perpindahan dan perubahan ukuran. Perubahan ukuran didasarkan pada nilai faktor dilatasi. Misalkan faktor dilatasi disimbolkan dengan k, maka

· Jika k > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

· Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak.

· Jika 0 < k < 1 maka bangun akan diperkeci dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

· Jika -1 < k < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

· Jika k = -1 maka benda tidak berubah ukuran tetapi arah benda berlawanan dengan arah semual.

· Sedangkan jika k < -1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan dengan arah bangun semula.

Secara umum, suatu objek yang terletak pada (x, y) yang didilatasi dengan faktor dilatasi k dan pusat dilatasi (p, q) adalah

Selanjutnya coba kerjakan soal mengenai transformasi geometri berikut.

Contoh Soal Transformasi Geometri

1. Suatu titik (3, 4) ditranslasikan dengan translasi (2, -1). Tentukan bayangan hasil translasi tersebut.

Pembahasan

2. Pada bidang kartesius, terdapat suatu titik yang terletak pada koordinat (2, -1). Tentukan hasil pencerminannya jika titik tersebut dicerminakn terhadap titik O (0,0), terhadap sumbu – x, terhadap sumbu-y, terhadap garis y = x, dan terhadap garis y = -x.

Pembahasan

Pencerminan terhadap titik O(0, 0)

Pencerminan terhadap sumbu-x

Pencerminan terhadap garis sumbu-y

Pencerminan terhadap garis y = x

Pencerminan terhadap garis y = -x

3. Terdapat suatu titik (3, 0) dalam bidang kartesius. Jika titik tersebut dirotasi dengan pusat rotasi (0, 0) dan sudut rotasi 60^o, maka bayangan hasil rotasinya adalah … .

Pembahasan