Lingkaran

 

Lingkaran: Pengertian, Rumus, Contoh Soal

 

Masih ingatkah dengan materi bangun datar? Nah, pada artikel ini akan dibahas mengenai salah satu bangun datar yaitu Lingkaran.

Terdapat beberapa bangun datar yang sudah kita kenal, seperti persegi, persegi panjang, segitiga, trapesium, jajar genjang, layang-layang, dan bangun datar yang lainnya.

Salah satu bangun datar yang memiliki sisi lengkung yaitu lingkaran. Berikut penjelasan mengenai lingkaran.

Pengertian Lingkaran

Apa itu lingkaran?

Lingkaran merupakan himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu pada lingkaran tersebut disebut sebagai pusat lingkaran.

Lingkaran memiliki satu sisi yang berupa sisi lengkung. Jarak suatu titik pada lingkaran dengan pusat lingkaran disebut sebagai jari-jari lingkaran. Perhatikan gambar berikut.

Pada gambar di atas, titik P merupakan titik pusat lingkaran dan r merupakan jari-jari lingkaran.

Dalam lingkaran juga terdapat ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran disebut sebagai tali busur.

Tali busur terpanjang lingkaran melalui titik pusat lingkaran disebut sebagai diameter lingkaran. Panjang diameter lingkaran adalah dua kali Panjang jari-jari lingkaran.

Berikut merupakan contoh penerapan lingkaran.

Penerapan Lingkaran

Konsep mengenai lingkaran banyak diterapkan dalam berbagai bidang. Konsep mengenai luas lingkaran dapat digunakan untuk mengukur luas lahan ataupun luas suatu objek yang berbentuk lingkaran.

Konsep mengenai keliling dapat diterapkan pada pemecahan masalah mengenai jari-jari/diameter roda dengan Panjang lintasan atau jarak yang ditempuh, dan penerapan-penerapan lainnya.

Keliling Lingkaran

Perhatikan gambar berikut.

Keliling lingkaran dapat dirumuskan sebagai berikut.

Keliling Lingkaran = π x diameter lingkaran

K = π x d

Karena ukuran diameter adalah dua kali ukuran jari-jari lingkaran, maka diperoleh:

K = π x (2 x r) = 2 x π x r

Keterangan:

·         K : keliling lingkaran

·         π : phi, konstanta dengan nilai 3,1459…  (22/7)

·         d : diameter lingkaran

·         r  : jari-jari lingkaran

Berikut akan dijelaskan mengenai luas lingkaran.

Luas Lingkaran

Perhatikan gambar berikut.

Pada gambar dia atas terdapat lingkaran dengan jari-jari r. Luas lingkaran dirumuskan sebagai berikut.

Luas lingkaran = π x jari-jari lingkaran x jari-jari lingkaran

L = π x r x r

L = π x r²

Hubungannya dengan diameter dirumuskan sebagai

L = π x (1/2 d)²

L = ¼ x π x d²

Keterangan:

·         K : keliling lingkaran

·         π : phi, konstanta dengan nilai 3,1459…  (22/7)

·         d : diameter lingkaran

·         r  : jari-jari lingkaran

Berikut ini akan dijelaskan mengenai persamaan lingkaran.

Persamaan Lingkaran

Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai persamaan lingkaran berjari-jari r dengan pusat pada O (0, 0) dan pusat P (a, b).

Persamaan lingkaran yang berpusat di O (0, 0).

Perhatikan gambar berikut.

Berdasarkan gambar di atas, persamaan lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari r yaitu:

Panjang OA = r

Panjang OB = x

Panjang AB = y

Dengan menerapkan konsep phytagoras diperoleh:

OB² + AB² = OA²

x² + y² = r²

Persamaan lingkaran dengan pusat P (a, b).

Perhatikan gambar berikut.

Ukuran  AP = r

Ukuran PB = x – a

Ukuran AB = y – b

Dengan menerapkan konsep Pythagoras diperoleh:

PB² + AB² = AP²

(x – a)² + (y – b)² = r²

Keterangan:

·         (a, b) : koordinat titik pusat lingkaran. a : absis, b : ordinat.

·         r : jari-jari lingkaran

Berikut ini akan dijelaskan mengenai persamaan garis singgung lingkaran.

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Pembahasan mengenai garis singgung lingkaran akan dibagi menjadi garis singgung dalam dan garis singgung luar lingkaran.

Persamaan garis singgung dalam lingkaran.

Perhatikan gambar berikut.

Garis singgung lingkaran dalam dirumuskan sebagai berikut.

Pd = √(d² – (R + r)²)

Keterangan:

·         Pd : garis singgung lingkaran dalam

·         d : jarak kedua pusat lingkaran

·         R : jari-jari lingkaran besar.

·         r : jari-jari lingkaran kecil.

Selanjutnya yaitu Persamaan garis singgung lingkaran luar.

Persamaan Garis Singgung Lingkaran Luar

Perhatikan gambar berikut.

Garis singgung lingkaran luar dirumuskan sebagai berikut.

Pl = √(d² – (R – r)²)

Keterangan:

·         Pl : garis singgung lingkaran luar

·         d : jarak kedua pusat lingkaran

·         R : jari-jari lingkaran besar.

·         r : jari-jari lingkaran kecil.

Untuk meningkatkan pemahaman mengenai lingkaran, perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal Lingkaran

1. Terdapat lingkaran dengan jari-jari 14 cm. Tentukan keliling dan luas lingkaran tersebut.

Pembahasan

r = 14 cm.

K = 2 x π x r = 2 x 22/7 x 14 cm = 88 cm.

L = π x r x r = 22/7 x 14 cm x 14 cm = 616 cm².

2. Terdapat lingkaran dengan pusat (2, 3) dan berjari-jari 5 cm. Tentukan persamaan lingkaran tersebut.

Pembahasan

Persamaan lingkaran (a, b) = (2, 3) dan r = 5.

(x – 2)² + (y – 3)² = 5²

x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0.

3. Dua lingkaran dengan jarak kedua titik pusat 15 cm. Jika jari-jari kedua lingkaran adalah 5 cm dan 4 cm, tentukan Panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran tersebut.

Pembahasan

Pd = √(d² – (R + r)²)

Pd = √(15² – (5 + 4)²) = √(225 – 81) = √144 = 12 cm

Apa yang sudah kita pelajari mengenai lingkaran?

Kesimpulan

Lingkaran merupakan himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu pada lingkaran tersebut disebut sebagai pusat lingkaran.

·         Rumus keliling lingkaran yaitu K = π x d.

·         Rumus luas lingkaran yaitu L = π x r x r.

·         Persamaan lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan berjari-jari r yaitu x² + y² = r^2.

·         Persamaan lingkaran dengan pusat P (a, b) dan berjari-jari r yaitu (x – a)² + (y – b)² = r²

·         Garis singgung persekutuan dalam lingkaran dirumuskan dengan Pd = √(d² – (R + r)²)

·         Garis singgung persekutuan luar lingkaran dirumuskan dengan Pl = √(d² – (R – r)²)

Demikian pembahasan mengenai lingkaran. Semoga pembahasan dalam artikel ini dapat menambah wawasan kalian mengenai lingkaran. Terima kasih.