Pythagoras

 

Pythagoras: Teorema, Rumus, dan Contoh Soal

 

Pada artikel kali ini kita akan membahas mengenai Pythagoras.

Pada materi bangun datar tentu kalian mempelajari materi segitiga. Terdapat beberapa jenis segitiga diantaranya segitiga lancip, segitiga tumpul, dan segitiga siku-siku.

Terdapat salah satu materi yang berkaitan degan segitiga siku-siku yaitu teorema Pythagoras. Teorema ini berkaitan dengan salah satu tokoh matematika bernama Pythagoras.

Apakah kalian mengetahui bagaimana teorema Pythagoras itu?

Untuk memahaminya, perhatikan penjelasan berikut.

Definisi Pythagoras

Pythagoras merupakan salah satu teorema atau aturan dalam matematika yang membahasa mengenai keterkaitan sisi-sisi segitiga, dalam hal ini merupakan segitiga siku-siku.

Teorema pythagoras ditemukan oleh seorang filsum Yunani bernama Pythagoras. Teorem ini ditemukan pada abad ke-6.

Perhatikan penjelasan mengenai contoh penerapan pythagoras berikut.

Penerapan Pythagoras

Contoh penerapan pythagoras dapat dilihat pada bidang pertukangan. Tukang bangunan biasanya menggunakan penggaris siku untuk menentukan bahwa sudut yang dibentuk oleh pondasi bangunan merupakan sudut siku-siku.

Selain itu, tukang biasanya juga membuat kerangka atap yang menerapkan konsep pythagoras.

Selain itu juga untuk menentukan jarak terdekat dari dua posisi dapat dengan mudah ditentukan menggunakan teorema pythagoras.

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai teorema pythagoras.

Teorema Pythagoras

Teorema pythagoras menyatakan bahwa kuadrat sisi miring segitiga siku-siku (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang saling berpenyiku.

Atau secara sederhana dapat dijelaskan bahwa jika sisi terpanjang segitiga siku-siku dikuadratkan maka akan sama dengan jumlah dari kuadrat sisi yang lainnya.

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai rumus pythagoras.

Rumus Pythagoras

Dari pembuktian di atas dapat dirumuskan teorema pythagoras sebagai berikut.

Misalkan terdapat segitiga siku-siku dengan ukuran sisi masing-masing adalah a, b, dan c.

Rumus Pythagoras dari segitiga siku-siku di atas adalah a² + b² = c²

Keterangan:

a, b, c  : ukuran sisi-sisi segitiga.

Bagaimana jika a² + b² < c² atau a² + b² > c²?

·         Jika a² + b² < c² maka jenis segitiganya adalah segitiga lancip.

·         Jika a² + b² > c² maka jenis segitiganya adalah segitiga tumpul.

·         Jika a² + b² = c² maka jenis segitiganya adalah segitiga siku-siku.

Berikut akan dijelaskan salah satu pembuktian teorema pythagoras.

Pembuktian Teorema Pythagoras

Terdapat banyak metode/cara dalam pembuktian teorema pythagoras. Pembuktian ini disebut sebagai pembuktian Bhaskara diambil dari nama penemunya yaitu Bhaskara dari India.

Perhatikan gambar berikut.

Pada gambar tersebut terdapat persegi dengan sisi berukuran c dan persegi kecil dengan ukuran (b – a), serta empat buah segitiga siku-siku dengan ukuran sisi a, b, dan c. Pembuktian teorema pythagorasn yaitu sebagai berikut.

Luas persegi kecil + (4 x luas segitiga siku-siku) = Luas persegi besar

(b – a) (b – a) + ( 4 x ½ x a x b) = c x c

b² + a² – 2ab + 2ab = c²

b² + a² = c²

atau dapat ditulis

a² + b² = c²

Keterangan:

a, b, c : ukuran sisi-sisi segitiga/persegi.

Selanjutnya akan dibahas mengenai tripel Pythagoras. 

Tripel Pythagoras

Apa itu tripel pythagoras?

Tripel pythagoras merupakan kombinasi tiga bilangan yang menyatakan ukuran sisi-sisi segitiga siku-siku sehingga berlaku a² + b² = c².

Berapa saja kombinasi dari tripel pythagoras?

Terdapat banyak sekali tripel pythagoras. Perhatikan beberapa tripel pythagoras berikut.

·         Bilangan 3, 4, 5. Karena 3² + 4² = 5².

·         Bilangan 5, 12, 13. Karena 5² + 12² = 13²

·         Bilangan 7, 24, 25. Karena 7² + 24² = 25².

·         Bilangan 8, 15, 17. Karena 8² + 15² = 17².

·         Bilangan 9, 40, 41. Karena 9² + 40² = 41².

Dan masih banyak tripel pythagoras yang lainnya.

Tripel pythagoras berlaku kelipatan, misalnya salah satu tripel pythagoras adalah 3, 4, dan 5. Tripel pythagoras kelipatannya yaitu (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20), dan sebagainya.

Terdapat beberapa contoh soal pythagoras. Kerjakan soal berikut, kemudian cek jawabanmu dengan pembahasan yang ada.

Contoh Soal Pythagoras

1. Terdapat suatu segitiga siku-siku dengan ukuran dua sisi yang berpenyiku adalah 21 cm dan 28 cm. Tentukan panjang sisi yang lainnya.

Pembahasan

Sisi yang dimaksud merupakan sisi miring segitiga siku-siku (hipotenusa).

Sehingga:

c² = a² + b²

= 21² + 28²  = 441 + 784 = 1.225

c = √1.225 = 35 cm

Cara cepat:

Dengan menggunakan tripel (3, 4, 5) maka setiap sisi segitiga dikali dengan 7 sehingga

(3 x 7, 4 x 7, 5x 7) sehingga (21, 28, 35)

Panjang sisi yang lain adalah 35 cm.

2. Terdapat segitiga siku-siku sama kaki dengan ukuran sisi miringnya adalah 5√2 cm. Tentukan panjang sisi yang lainnya.

Pembahasan

Karena merupakan segitiga siku-siku sama kaki, maka panjang sisi yang berpenyiku sama. Sehingga:

Misalkan panjang sisi berpenyiku adalah a, dab panjang sisi miring adalah c.

a² + a² = c²

2 x a² = (5√2)²

2 x a² = 50

a² = 25

a = ± 5

Karena panjang sisi tidak mungkin negatif, maka panjang sisi berpenyiku adalah 5 cm.

3. Diketahui ukuran dua sisi yang berpenyiku dari segitiga siku-siku adalah 12 cm dan 16 cm. Tentukan ukuran sisi yang lainnya.

Pembahasan

Ukuran sisi: 12 cm dan 16 cm

Ukuran sisi ketiga

c² = a² + b²

c² = 12² + 16²

c² = 144 + 256 = 400

c = √400 = 20 cm

4. Diketahui suatu bayangan menara memiliki panjang 10 m, jika jarak ujung menara dengan ujung bayangan menara adalah 26 m, tentukan tinggi menara tersebut.

Pembahasan

c² = a² + b²

b² = c² – a²

b² = 26² – 10²

b² = 676 – 100

b² = 576

b = √576 = 24 m

5. Tentukan apakah ukuran sisi-sisi berikut merupakan tripel phytagoras.

12, 15,dan 20.

Pembahasan

Sisi terpanjang: 20

Sehingga,

12² + 15² = 144+ 225 = 369

20² = 400

Karena 12² + 15² ≠ 20² maka 12, 15, dan 20 bukan tripel phytagoras.

Mari kita simpulkan bersama.

Kesimpulan

·         Teorem pythagoras merupakan salah satu teorema atau aturan dalam matematika yang berkaitan dengan hubungan antar sisi segititas siku-siku.

·         Teorema pythagoras menyatakan bahwa kuadrat sisi miring segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lainnya.

Rumus teorema pythagoras yaitu a² + b² = c².

·         Beberapa tripel pythagoras yaitu (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), dan sebagainya. Tripel pythagoras berlaku kelipatannya.

Demikian pembahasan mengenai pythagoras dalam artikel ini, semoga bermanfaat.