Program Linear

Program Linear: Pengertian, Rumus, Contoh Soal

 

Pembahasan kali ini yaitu mengenai program linear.

Tentu kalian pernah belajar mengenai persamaan garis? Apa saja yang kalian pelajari dalam persamaan garis?

Dalam materi persamaan garis kalian telah diajari bagaimana menggambar garis dalam bidang kartesius.

Pengetahuan mengenai persamaan garis tersebut akan kita gunakan dalam materi program linear ini.  

Selain persamaan garis, materi lain yang akan digunakan yaitu mengenai pertidaksamaan linear dua variabel.

Berikut penjelasannya.

Materi Program Linear

Pernahkah kalian mendengar mengenai program linear?

Program linear merupakan salah satu metode dalam menentukan solusi optimal dari suatu permasalahan linear.

Dalam program linear terdapat fungsi objektif atau fungsi tujuan. Syarat, batas, dan kendala dalam program linear merupakan suatu bentuk pertidaksamaan linear.

Dengan menggunakan program linearSelanjutnya akan dibahas mengenai penerapan program linear dalam kehidupan sehari-hari.

Program Linear dalam Kehidupan Sehari-hari

Program linear banyak diterapkan dalam berbagai bidang. Dalam bidang matematika dan ekonomi, program linear dapat digunakan sebagai salah satu teknik optimasi produksi dalam suatu pabrik maupun suatu perusahaan.

Dalam bidang farmasi, program linear juga dimanfaatkan untuk menentukan dan memodelkan pengoptimasian produksi obat.

Hampir semua bidang memanfaatkan program linear sebagai metode dalam melakukan optimasi.

Dengan menggunakan program linear kegiatan-kegiatan (misalnya produksi di pabrik, produksi obat, dan lain-lain) akan optimal, sehingga perusahaan memiliki keuntungan yang lebih besar jika dibandingkan dengan tidak memanfaatkan program linear.

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai langkah-langkah dalam menentukan nilai optimal dengan program linear.

Langkah-Langkah Program Linear

Berikut merupakan langkah-langkah dalam melakukan optimasi menggunakan teknik program linear.

1.       Tentukan variabel-variabel kendalanya.

2.      Tentukan fungsi tujuan.

3.      Susun model dari variabel-variabel kendala.

4.      Gambarkan grafik dari model yang telah dibuat.

5.      Tentukan titik-titik potong dari grafik.

6.      Tentukan daerah penyelesaian yang sesuai.

7.      Hitung nilai optimum dari fungsi tujuan.

Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh soal program linear.

 

Contoh Soal Program Linear

1. Ada seorang pedagang buah naga sedang memanen hasil kebunnya. Dia menyewa 30 kendaraan jenis truk dan colt dengan total muatan sebanyak 300 karung. Setiap truk hanya mampu menampung 15 karung dan colt hanya mampu mengangkut 10 karung. Tentukanlah bentuk model matematikanya.

Pembahasan

Dalam mengerjakan soal cerita seperti ini, Kita dapat melakukan pemisalan pada truk dan colt. Kita anggap truk sebagai fungsi x dan colt sebagai fungsi y. Selain itu, banyak karung yang di tampung adalah 300 karung dengan masing-masing per truk mampu menampung 15 karung dan colt 10 karung. Sehingga kita bisa menuliskan model matematikanya seperti di bawah ini.

Fungsi banyak karung = 15x + 10y = 300

Fungsi banyak karung = 3x + 2y = 60

Fungsi kuantitas = x + y = 30

Sehingga model matematika soal tersebut adalah F(kuantitas): x + y = 30 dan F(banyak karung): 3x + 2y = 60.

 

2. Lendra sedang berbelanja ke pasar. Dia membeli beberapa buah rambutan dan pepaya. Jumlah yang dibeli paling sedikit 20 buah di mana buah rambutan maksimal sebanyak 12 buah. Harga rambutan per buah adalah 5 ribu dan pepaya adalah 2 ribu. Ia memiliki uang 40 ribu. Jika Lendra membeli a rambutan dan b pepaya, tentukan bentuk model matematikanya

Pembahasan

Seperti soal sebelumnya, kita melakukan pemisalan untuk pembelian dan jumlah buah di mana rambutan sebagai fungsi x dan pepaya sebagai fungsi y.

Fungsi pembelian: 5000x + 2000y = 40000

Fungsi pembelian: 5x + 2y = 40

Fungsi jumlah buah: x + y ≥ 20

Fungsi maksimal rambutan: x ≤ 12

Ini bentuk model matematika untuk semua informasi dalam soal tersebut.

 

3. Diketahui sebuah persamaan x + y = 10 dan diberikan sebuah fungsi seperti di bawah ini

{(x,y)| x ≥ 0; y ≥ 0; 2x + 3y ≤ 8; 3x + 2y ≤ a}

Tentukan nilai a pada fungsi di atas sehingga nilai maksimum x + y = 10

Pembahasan

Pertama, kita harus menuliskan semua fungsi yang ada secara benar seperti contoh di bawah ini.

x ≥ 0

y ≥ 0

2x + 3y ≤ 8

3x + 2y ≤ a

Kemudian, lakukan penjumlahan dari dua fungsi di atas.

2x + 3y ≤ 8

3x + 2y ≤ a    +

5x + 5y ≤ 8 + a

5 (x + y) ≤ 8 + a

5 (10) ≤ 8 + a

50 – 8 ≤ a

42 ≤ a

Sehingga, nilai a ≥ 42 untuk mendapatkan nilai maksimum x + y = 10.

 

4. Punto merupakan seorang pedagang memiliki modal Rp. 1.000.000 untuk membeli anggur dan ketan beras. Harga beli tiap kg anggur adalah Rp. 4000 dan ketan besar adalah Rp. 1600. Gudang Punto hanya bisa menampung 400 kg. Tentukan jumlah anggur dan ketan beras maksimum.

Pembahasan

Seperti soal-soal sebelumnya, kita dapat melakukan pemisalan pada soal tersebut di mana anggur sebagai fungsi x dan ketan besar sebagai fungsi y. Maka, kita bisa menulis bentuk pertidaksamaannya sebagai berikut.

Fungsi kapasitas: x + y ≤ 400

Fungsi modal: 4000x + 1600y ≤ 1.000.000 disederhanakan menjadi 5x + 2y ≤ 1250

x ≤ 0 ; y ≤ 0

Dari persamaan tersebut, kita dapat membentuk sebuah diagram sesuai dengan nilai maksimum pada tiap persamaan. Kita bisa memasukkan nilai 0 dan 400 dalam tiap persamaan sehingga bisa diketahui titik ekstremnya.

·         Titik 1 (0,400) merupakan titik ekstrem namun tidak terdapat fungsi anggur

·         Titik 3 (400,0) merupakan titik ekstrem namun tidak terdapat fungsi beras ketan

·         Titik 2 ( x_b, y_b ) menggunakan eliminasi kedua fungsi di atas.

5x + 2y ≤ 1250

x + y ≤ 400 |x2   –

5x + 2y ≤ 1250

2x + 2y ≤ 800    –

3x ≤ 450

Sehingga nilai x adalah 150. Total anggur dan beras ketan adalah 400, sedangkan jumlah angggur adalah 150, maka jumlah beras ketan adalah 250.

 

5. Jika diberikan sebuah fungsi f(x,y) = 4x + 5y pada grafik di bawah ini. Tentukan garis maksimum fungsi tersebut

Pembahasan

Pertama, kita harus melihat titik-titik ekstrem pada gambar di atas. Sehingga di temukan titik ekstremnya adalah B(3,6), C(8,2), dan D(8,0).

Kemudian, kita masukkan titik ekstrem ini ke dalam persamaan f(x,y) = 4x + 5y.

Nilai terbesar merupakan titik maksimumnya. Berdasarkan perhitungan, titik maksimum melintasi garis BC. Sehingga bisa disimpulkan bahwa BC adalah garis maksimum.

 

6. Pada ilustrasi berikut terdapat permasalahan terkait penumpang besawat, berat bagasi, dan harga tiket.

Dalam suatu pesawat terdapat 48 tempat duduk penumpang. Setiap penumpang kelas utama maksimum membawa 60 kg bagasi, sedangkan penumpang kelas ekonomi hanya diperbolehkan membawa bagasi maksimal 20 kg. Pesawat tersebut hanya mampu menampung total bagasi penumpang maksimum 1440 kg. Jika harga tiket penumpang kelas utama adalah Rp1.500.000,00 dan penumpang kelas ekonomi adalah Rp1.000.000,00, tentukan banyaknya tempat duduk kelas utama dan kelas ekonomi agar pendapatan dari penjualan tiket tersebut maksimum.

Pembahasan

Misalkan variabel-variabel kendala dimisalkan sebagai berikut.

·         x  : banyaknya penumpang kelas utama

·         y  : banyaknya penumpang kelas ekonomi

Menentukan fungsi tujuan:

Fungsi tujuan dari permasalahan tersebut yaitu menentukan pendapatan maksimum:

z = 1.500.000 x + 1.000.000 y

Menyusun model dari variabel-variabel kendala:

Banyak tempat duduk maksimum adalah 48.

Banyak bagasi maksimum 60 kg (kelas utama) dan 20 kg (kelas ekonomi) dengan total bagasi maksimum 1.440 kg.

Sehingga

x + y ≤ 48

60 x + 20 y ≤ 1.440

Grafik dari fungsi tersebut:

x + y ≤ 48

x	48	0
y	0	48

Titik yang dilalui garis yaitu (48, 0) dan (0, 48)

60 x + 20 y ≤ 1440

x	24	0
y	0	72

Titik-titik yang dilalui garis yaitu (24, 0) dan (0, 72)

Gambar grafik fungsi kendala yaitu sebagai berikut.

Menentukan titik potong kedua grafik.

Dengan menggunakan konsep SPLDV diperoleh

x + y = 48 à y = 48 – x

60 x + 20 y = 1.440

Sehingga

60 x + 20 (48 – x) = 1.440

60x + 960 – 20x = 1.440

40x = 1.440 – 960

40 x = 480

x = 480/40 = 12

x + y = 48

x = 12 à y = 48 – 12 = 36

Titik potong kedua garis pada (12, 36)

Menentukan daerah penyelesaian.

Perhatikan daerah penyelesaian berikut.

Pada gambar tersebut terdapat daerah penyelesaian yang berwarna ungu. Langkah selanjutnya yaitu menghitung nilai optimum dari fungsi tujuan.

Titik optimumnya yaitu (0, 0), (24, 0), (12, 36), dan (0, 48).

Fungsi tujuan:  z = 1.500.000 x + 1.000.000 y

(0, 0) à z = 1.500.000 (0) + 1.000.000 (0) = 0

(24, 0) à z = 1.500.000 (24) + 1.000.000 (0) = 36.000.000

(12, 36) à z = 1.500.000 (12) + 1.000.000 (36) = 18.000.000 + 36.000.000 = 54.000.000

(0,48) à z = 1.500.000 (0) + 1.000.000 (48) = 48.000.000

Maksimum penjualan tiket yaitu 54.000.000

Jadi, agar penjualan tiket maksimum maka banyaknya penumpang kelas utama adalah 12 penumpang dan banyaknya penumpang kelas ekonomi adalah 36 penumpang.

Kesimpulan

·         Program linear merupakan salah satu teknik optimasi yang digunakan dalam berbagai bidang untuk menentukan optimalisasi suatu kegiatan (misalnya produksi, penjualan, dan lain-lain).

·         Langkah-langkah penghitungan dengan menggunakan program linear yaitu menentukan variabel kendala, menyusun fungsi tujuan, menyusun model, menggambar grafik model, menentukan titik potong grafik, menentukan daerah penyelesaian, dan menentukan nilai optimum dari fungsi tujuan.

Demikian pembahasan mengenai program linear. Semoga bermanfaat bagi pembaca semuanya.