Eksponen

 

Eksponen: Pengertian, Rumus, & Contoh Soal

 

 

4 x 4 x 4 x 4 x 4

Bagaimana kamu membuat bentuk perkalian diatas agar menjadi lebih ringkas?

Yap, bentuk diatas dapat kita tuliskan sebagai 4⁵ yang dibaca 4 pangkat 5. Perpangkatan merupakan kata lain dari eksponen.

Nah, kali ini mari kita simak pembahasan lebih lanjut mengenai eksponen.

Pengertian Eksponen Matematika

Eksponen atau yang lebih sering kita dengar dengan sebutan pangkat adalah nilai yang menunjukkan derajat kepangkatan atau sebanyak berapa kali sebuah bilangan dikalikan dengan bilangan tersebut.

Jika terdapat dua bilangan a dan b, maka notasi dari eksponen matematika adalah a^b yang kemudian dibaca a pangkat b.

Bilangan a kemudian disebut sebagai bilangan basis (pokok) dan b disebut eksponennya.

Jika b merupakan bilangan bulat positif, maka eksponen dapat dinyatakan

a^b = a x a x a x … x a  (a sejumlah b faktor)

Sifat sifat eksponen

Eksponen atau pangkat memiliki beberapa sifat, diantaranya :

1.       a⁰= 1 (Eksponen Nol)

2.      a^-p = 1/a^p (Eksponen Negatif)

3.      a^p/q=^q√a^p (Eksponen Pecahan)

4.      a^p x a^q = a^p+q

5.      a^p/a^q=a^p-q

6.      (a^p)^q=a^pq

7.      (a^m.bⁿ)^p = a^mp. b^np

8.      (a^m/aⁿ)^p = a^mp/a^np

Fungsi Eksponen dan Grafiknya

Apabila terdapat bilangan real x, maka fungsi eksponen merupakan fungsi yang memetakan bilangan x ke ax dengan syarat a>0 dan a≠1 atau dapat dituliskan f:(x)=ax.

Untuk grafiknya adalah

Fungsi eksponen tersebut memiliki sifat diantaranya

1.       Kurva berada diatas sumbu x (definit positif)

2.      Memotong sumbu y pada (0,1)

3.      Mempunyai asimto y=0 (sb. X)

4.      Untuk x>1, maka grafik monoton naik

5.      Untuk 0<x<1, maka grafik monoton turun

 

Persamaan Fungsi Eksponen

Seperti fungsi fungsi lain, dalam materi fungsi eksponen juga terdapat persamaan fungsi eksponen.

Nah, untuk a>0 dan a≠1, beberapa bentuk dari persamaan fungsi eksponen dan penyelesaiannya adalah

1.       Jika a^f(x) = aⁿ maka f(x) = n

2.      jika a^g(x) = a^h(x) maka g(x) = h(x)

3.      jika a^f(x)=b^f(x) maka f(x) = 0

4.      jika f(x)^g(x)=f(x)^h(x) maka kemungkinan penyelesaiannya adalah

5.      g(x) = h(x)

6.      f(x) = 1

7.      f(x) = -1 jika g(x) dan h(x) sama sama ganjil atau genap

8.      f(x) = 0 jika g(x)>0 dan h(x)<0

9.      jika f(x)^h(x)=g(x)^h(x) maka kemungkinan penyelesaiannya adalah

10.   f(x) = g(x)

11.    h(x) = 0 jika g(x) dan h(x) tidak sama dengan 0

12.   jika f(x)^g(x)=1 maka kemungkinan penyelesaiannya adalah

13.   f(x) = 1

14.   g(x) = 0 jika f(x)≠0

15.   f(x) = -1 jika g(x) genap

 

Pertidaksamaan Fungsi Eksponen

Jika ada persamaan fungsi eksponen, maka terdapat pula pertidaksamaan fungsi eksponen. Penyelesaian dari pertidaksamaan fungsi eksponen adalah sebagai berikut

1.       untuk a>1

2.      jika a^f(x)<a^g(x) maka f(x)<g(x)

3.      jika a^f(x)>a^g(x) maka f(x)>g(x)

4.      untuk 0<a<1

5.      jika a^f(x)<a^g(x) maka f(x)>g(x)

6.      jika a^f(x)>a^g(x) maka f(x)<g(x)

Contoh Soal Fungsi Eksponen

1. x³ . x⁵ = x⁽³⁺⁵⁾ = x⁸

2. (x³.y²)² = x^3.2 . y^2.2 = x⁶.y⁴

3. Jika f(x) = 3^x+2 cari nilai f(3) dan f(-3)

·         f(3) = 3³⁺² = 3⁵ = 243

·         f(-3) = 3^-3+2 = 3^-1= 1/3 = 0,333

4. Cari nilai x yang memenuhi 3^x-3 = 0

·         3^x-3 = 0

·         3^x =3¹

·         x = 1 maka x yang dicari adalah x=1

5. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan eksponen 4^x+2+4^x=17 !

Pembahasan

4^x+2 + 4^x=17

4^x.4² + 4^x=17

16.4^x + 4^x = 17

17.4^x = 17

4^x = 1

x = 0

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan eksponen 4^x+2+4^x=17 adalah 0.

6. Akar-akar persamaan 25^3x-6 = 5^{4x^2−12x+2} adalah p dan q. Berapakah nilai pq?

Pembahasan

25^3x-6 = 5^{4x^2−12x+2}

5^2(3x-6) = 5^{4x^2−12x+2}

2(3x-6) = 4x² − 12x + 2

6x – 12 = 4x² − 12x + 2

4x² − 12x + 2 – 6x + 12 = 0

4x² − 18x +14 = 0

pq = ^c/_a = ¹⁴/₄ = 3,5

Jadi, nilai pq adalah 3,5.

7. Diketahui 3^{2x – 1} – 1 = 2.3^x-1. Hitunglah nilai 9^x!

Pembahasan

3^{2x – 1} – 1 = 2.3^x-1

3^2x /3¹ – 1 = 2.3^x /3¹

3^2x – 3 = 2.3^x

3^2x -2.3^x – 3 = 0

Misal a = 3^x, maka

3^2x – 2.3^x – 3 = 0

a² – 2a – 3 = 0

(a-3)(a+1) = 0

a = 3 atau a = -1

Karena, a = -1 tidak mungkin memenuhi a = 3^x, maka a = 3.

Sehingga

a = 3^x

3 = 3^x

3¹ = 3^x

x = 1

9^x = 9¹ = 9

Jadi, nilai dari 9^x adalah 9.

8. Jika 3^{x – y} = 81 dan 2^{x – 2y} = ¹/₁₆, tentukan nilai x+y!

Pembahasan

3^{x – y} = 81

3^{x – y} = 3⁴

x – y = 4

x = y + 4 … (1)

2^{x – 2y} = ¹/₁₆

2^{x – 2y} = 2^-4

x – 2y = -4 … (2)

Substitusikan (1) ke (2), sehingga diperoleh

x – 2y = 4

y + 4 – 2y = -4

-y = -8

y = 8

Substitusikan nilai y ke (1), sehingga diperoleh

x = y + 4

x = 8 + 4

x = 12

x + y = 8 + 12 = 20

Jadi, nilai x + y adalah 20.

9. Tentukan nilai 3^1/n jika diketahui (9^0,125)ⁿ = √3.

Pembahasan

(9^0,125)ⁿ = √3

9^0,125n = √3

3^2(0,125)n = 3^½

3^0,25n = 3^½

0,25n = ½

n = 2

Sehingga diperoleh

3^1/n = 3^½ = √3

Jadi, nilai 3^1/n adalah √3.

Demikian pembahasan tentang materi eksponen. Semoga bermanfaat.